onster,
schönes
Es gibt Monster, die sind von unwahrscheinlicher Schönheit
und kaum zu überbietender Eleganz. Sie sind nicht in alten Gemäuern zu Hause,
auch nicht in Horrorfilmen. Leinwandmonster sind gewöhnlich hässlich und unansehnlich.
Die Monster, die ich meine, sind ursprünglich der Phantasie von Mathematikern
entsprungen. Sie speien kein Feuer und verströmen auch keinen giftigen Atem,
wohl aber umgibt sie der Hauch des Unendlichen.
Die Kino- und Comics-Monster haben meistens klangvolle Namen, die jedoch ohne
jede Bedeutung sind. Die mathematischen Monster tragen gewöhnlich die Namen
ihrer Väter oder die ihrer Verwandten aus den Kinos und den Comics, wie die
Drachenkurve. In dem Landesteil von Palindromien, den wir jetzt betreten, haust
ein Monster namens Sierpinski-Dreieck.
Waclaw Sierpinski war ein polnischer Mathematiker;
er lebte von 1882 bis 1969.1916 veröffentlichte er eine Arbeit mit dem Titel
Über eine Kurve, deren jeder Punkt ein Verzweigungspunkt ist. Das war
die Geburtsstunde unseres Monsters. Können Sie sich eine Kurve vorstellen, die
sich in jedem ihrer Punkte verzweigt? Wahrscheinlich
gelangen Sie, wenn Sie's versuchen, sehr bald zu der Vermutung, dass ein solches
seltsames Monster kein eindimensionales Gebilde mehr sein könne, wie es doch
jede wohl gestaltete gerade oder krumme Kurve ist, sondern dass es die gesamte
Fläche ausfüllen, also ein zweidimensionales Gebilde sein müsste. Sierpinski
konnte zeigen, dass es eine solche Kurve tatsächlich gibt. Er gab ein Verfahren
an, wie man sie zeichnen kann, ohne den Stift absetzen zu müssen: Man gebe eine
gebrochene Linie S0, S1, $2, S3 vor (Figur 1), errichte auf jedem Linienstück
erneut eine gebrochene Linie des gleichen Typs, aber in entsprechend kleineren
Abmessungen (Figur 2) und setze den Prozess iterativ fort (Figur 3 - 6). Das
Resultat bleibt natürlich immer eine echte Kurve;
zugleich aber - und das ist das Monsterhafte an ihr - ist sie ein flächiges
Gebilde, ein durch und durch durchlöchertes Dreieck,
das wir erhalten würden, wenn wir die Prozedur noch viele, viele Male durchführten.
Der Name, unter dem es heute alle kennen, ist Sierpinski-Dreieck. Und ist es
nicht wirklich von faszinierender Eleganz? Doch
in der Welt der Mathematik gibt es nicht nur Monster, es gibt in ihr auch Reinkarnationen,
Wiedergeburten, Auferstehungen.
Das Sierpinski-Dreieck ist die Auferstehung eines anderen berühmten Dreiecks,
des Pascal'schen Dreiecks.
Zwei Wege zur Erzeugung des Sierpinski-Dreiecks
- (kroeb)
